বৃত্তের দুটি সমান জ্যা বৃত্তের অভ্যন্তরে পরস্পরকে ছেদ করলে একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান

                প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের অভ্যন্তরে AB ও CD জ্যা-দ্বয় P বিন্দুতে পরস্পরকে 
                ছেদ করেছে। দেখাও যে, একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান, অর্থাৎ 
                AP = PD এবং PC = PB.
                
                সমাধান: মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ACBD বৃত্তের AB ও CD সমান জ্যা-দ্বয় 
                পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে। 
                দেখাতে হবে যে, AP = PD এবং PC = PB.

                অঙ্কন:  O বিন্দু হতে AB ও CD জ্যাদ্বয়ের উপর যথাক্রমে OE এবং OF 
                লম্ব আঁকি। O,P যোগ করি।

                প্রমাণ:
                ধাপ ১. OE ⊥ AB
                 ∴ AE = BE =  (½)AB [বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যায়ের উপর অঙ্কিত 
                লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ]

                    ধাপ ২. OF ⊥ CD
                   ∴ CF = DF = (½)CD  [ঐ]

                    ধাপ ৩: কিন্তু AB = CD
                 বা, (½)AB = (½)CD   [½ দ্বারা গুণ করে]
                ∴  AE = DF .....(I)

                    ধাপ ৪: আবার, OE এবং OF কেন্দ্র O হতে যথাক্রমে AB ও CD
                জ্যা-য়ের দূরত্ব নির্দেশ করে।
                  ∴ OE = OF  [সমান সমান জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী ]

                    ধাপ ৫: 
                  ∆POE এবং ∆POF সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে,
                     অতিভুজ OP = অতিভুজ OP [সাধারণ বাহু]
                     OE = OF [ধাপ ৪ হতে]
                    ∴ ∆POE ≅ ∆POF  [অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা ]
                    ∴ PE = PF ……(ii)

                    ধাপ ৬:
                    AE + PE = DF + PF  [(I)+(ii) হতে]
                    ∴ AP = DP

                   আবার, AB = CD

                   বা, AB – AP = CD – AP 

                   বা, AB – AP = CD – PD   [ ∴ AP = PD]

                   বা, PB = PC

                  ∴ AP = PD এবং PC = PB (দেখানো হলো)